Matematika: dažome tvoras, bet netapome paveikslų

Profesorius Rimas Norvaiša teigia: mokyklinė matematika per keletą pastarųjų šimtmečių iš esmės liko nepakitusi, nors per tiek laiko pats mokslas pasikeitė labai smarkiai. "Vokiečių matematiko Felikso Kleino (Felix Klein) liudijimu, dar 19 amžiaus gale matematikos mokytojai diskutuodavo apie naujausius to meto šios srities pasiekimus. Tačiau šiomis dienomis man sunku būtų įsivaizduoti juos aptariant, pavyzdžiui, Henrio Puankarė (Henri Poincare) problemą, už kurios sprendimą Grigorijui Perelmanui 2010 m. buvo skirta vieno milijono dolerių premija", - sakė pokalbininkas.

Mokymo kokybė negerėja

Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos instituto Atsitiktinių procesų skyriaus vyriausiasis mokslo darbuotojas, Ekonometrinės analizės katedros profesorius, Lietuvos mokslininkų sąjungos vicepirmininkas, habilituotas daktaras Rimas Norvaiša prisipažino iki šiol buvęs privalomo matematikos brandos egzamino šalininkas, tačiau - su sąlyga, kad kartu bus keliama matematinio ugdymo kokybės kartelė. Deja, profesorius sako nematantis požymių, jog artimiausiu metu bus skatinami poslinkiai tą kokybę gerinti.

"Aiškią politinę galią šiuo metu turi šalininkai matematikos, kurią aš linkęs vadinti primityviąja", - sako R. Norvaiša.

Profesoriau, paklausiu paprastai. Jeigu vaikas nesupranta matematikos, tėvai arba samdo korepetitorių, arba nusprendžia, kad jis humanitaras. Ar daugiau matematikos pamokų gali būti naudingos humanitarui? O gal geriau būtų mažiau?

Pirma noriu pasakyti, kad mane labai glumina matematikos ir humanitarikos supriešinimas. Manau, kad taip atsitiko todėl, kad matematika dėl tam tikrų priežasčių buvo "pasisavinta" gamtos mokslų. Bet toks matematikos įvaizdis - kad tai "fizinis mokslas" - dominavo ne visada. 19 a. pabaigoje dirbęs vokiečių mąstytojas Gotlobas Fregė (Gottlob Frege) sakė: kiekvienas geras matematikas mažiausiai per pusę yra filosofas, kiekvienas geras filosofas mažiausiai per pusę yra matematikas. Kiti mąstytojai turėjo panašią nuomonę. Sakyčiau, kad šio meto filosofija yra kur kas arčiau realaus pasaulio, o kartu ir gamtos mokslų negu vadinamoji grynoji matematika.

Antra, matematikos pamokų kiekio nenorėčiau sieti su moksleivių profiliavimu. Pamokų skaičius turi būti toks, kokio reikia kokybiškam matematikos ugdymui. Kol mokyklinės matematikos mokome kaip išeina, tol pamokų skaičiaus keitimas nekokybiško matematinio ugdymo pasekmių nepakeis.

Pirmiausiai gal reikėtų rūpintis ne pamokų skaičiumi, o matematinio ugdymo programos turinio apimtimi. Pavyzdžiui, kinų mokyklinės matematikos turinyje dominuoja aritmetika. Iki aštuntos klasės ji sudaro beveik 80 proc. viso turinio, jei mano atmintis neapgauna. O kinų, kaip ir daugumos Rytų Azijos šalių moksleiviai, yra nepralenkiami matematinio raštingumo testų požiūriu.

Realiame pasaulyje neegzistuoja

Kokia, jūsų galva, yra didžiausia mūsų matematinio ugdymo problema?

Paprasčiausias atsakymas - mokytojų nekvalifikuotumas. Tikslesnis atsakymas - problema yra paruošti gerus matematikos mokytojus.

Matematikos mokytojų ruošimo klausimas atsiremia į mūsų švietimo ir mokslo sistemą. Tokios sistemos tinkamumo klausimas, matyt, ir yra esminė problema.

Kas yra geras matematikos mokytojas?

Tas, kuris supranta ne tik elementariąją matematiką, bet ir turi apytikrį vaizdą apie šiuolaikinę matematiką, jos istoriją ir filosofiją. Elementariosios matematikos supratimas reiškia gebėjimą paaiškinti matematikos procedūrų prasmę, pvz., kodėl trupmenos sudedamos ar dalijamos tam tikru būdu. Jei vaikas supras, kodėl sudėdami trupmenas jas bendravardikliname, tai nereikės tų procedūrų išmokti mintinai ir po 10 minučių jų pamiršti.

Supažindinimas su trupmenomis pavyzdžiais iš realaus pasaulio yra būtinas, bet anaiptol nepakankamas. Matematikos sąvoka (pvz., skaičius) yra abstrakcija, apibūdinama savo savybėmis vienareikšmiškai.

Nematematikui tai gali mažai ką reikšti.

Matematikos sąvokos labai skiriasi nuo realaus pasaulio sąvokų, naudojamų kasdieniniame gyvenime. Bet kuri sąvoka yra kokių nors objektų rinkinio vardas. Sąvokos skiriasi pagal tai, kokiu būdu objektai jungiami į vieną rinkinį.

Apibūdinant realaus pasaulio sąvokas dažniausiai pakanka jas iliustruoti konkrečiais pavyzdžiais arba tiesiog nurodyti pirštu. Pavyzdžiui, pilies sąvoką mes suvokiame iš paveiksliukų pasakų knygoje arba aplankę kurią nors istorinę pilį. Toks sąvokos apibūdinimas nėra tikslus ir vienareikšmis. Apie daugelį objektų Vilniuje ir jo apylinkėse būtų sunku vienareikšmiškai tvirtinti, ar tai yra pilis, ar ne. Tačiau bendrinėje kalboje pakanka apytikrio sąvokų supratimo.

Tuo tarpu matematikos sąvokai yra būtinas tikslus jos prasmės apibrėžimas dėl keleto priežasčių. Pirma: objektai, priklausantys matematikos sąvokai, realiame pasaulyje neegzistuoja. Be to, jauno žmogaus patirtis yra nepakankama matematikos sąvoką apibūdinti remiantis tik pavyzdžiais, su kuriais jis greičiausiai niekada nėra susidūręs. Antra: matematiniai objektai turi savybių, kurių neturi realaus pasaulio objektai. Pavyzdžiui, apie bet kuriuos du matematikos objektus galima pasakyti, ar jie lygūs, ar ne, bent jau iš principo. Šią savybę naudojame, kai bandome nustatyti lygybę tarp konkrečios kvadratinės lygties šaknų (vienas objektas) ir tam tikros skaičių aibės (kitas objektas). Trečia, matematinis įrodymas yra loginis samprotavimas, kuriuo lyginami keli matematikos objektai ar kelios matematikos sąvokos. Toks lyginimas įmanomas tik tiksliai žinant objektą apibūdinančias savybes, kurios matematikoje paprastai formuluojamos apibrėžtimi. Kol nėra žinoma vienareikšmė sąvokos apibrėžtis, tol nėra įmanomas joks matematinis įrodymas. Trupmenų atveju buitinis jų supratimas (picos ar torto dalys) niekaip negali padėti įrodyti, kad natūralusis skaičius yra atskiras trupmenos atvejis.

Tvorų dažymas

Pasakykite paprastai, kas yra ta elementarioji matematika.

Elementarioji matematika yra ta matematikos dalis, kuri matematikų bendruomenės bendru sutarimu apima pagrindines matematikos sąvokas, objektus, jų savybes, būdingus visai matematikai. Kad būtų aiškiau, pridursiu, kad šiuolaikinė matematika turi daugiau kaip 3000 skirtingų dalių ir vienoje iš jų paprastai specializuojasi eilinis matematikas, galintis neišmanyti visų likusių matematikos dalių.

Taigi elementarioji matematika yra tai, kas priklauso visoms matematikos dalims. Nenuostabu, kad elementariosios matematikos turinys kito plėtojantis matematikai.

Vieną bendrą šiuolaikinei matematikai būdingą bruožą galima įvardyti kaip samprotavimų loginį tikslumą. Tam tikras tikslumo lygis matematikai buvo būdingas visada. Bet pastaraisiais šimtmečiais šis bruožas nusako matematikos veido bruožus.

Jūs sakote, kad mokykloje vaikai mokomi primityvios matematikos. Paaiškinkite išsamiau.

Pasinaudosiu analogija, pasiskolinta iš naujos Edvardo Frenkelio (Edward Frenkel) knygos "Meilė ir matematika". Įsivaizduokime, kad mokykloje mokoma dailės, ir viskas, ką vaikai apie dailę sužino, yra tai, kaip nudažyti tvorą. Su paveikslais, o tuo labiau da Vinčio ar Rubenso kūriniais vaikai nesupažindinami. Kaip tokiu atveju įdiegti vaikui motyvaciją ir dailės grožio supratimą? Mokyklinė matematika vaikus taip pat moko tik "dažyti tvoras", jie nesupažindinami su mąstymo apie abstrakčius objektus elementais (paveikslais). Kodėl mes stebimės, kad vaikai neturi motyvacijos mokytis matematikos?

Kalbant konkrečiai, dabartinis matematinis ugdymas orientuojamas patenkinti kasdienio gyvenimo poreikius, t. y. šios matematikos turinys yra tai, ko reikia iliustruojant gamtos ir visuomenės pažinimą mokykliniu lygiu. Pastaruoju metu tokia matematika dar vadinama "realių uždavinių" sprendimu, tarsi abstraktūs matematikos kontekste formuluojami ir sprendžiami uždaviniai būtų "nerealūs".

Tarnauti verslui

O kodėl mus moko būtent primityviosios matematikos?

Daugiau nei prieš 20 metų, atkūrus Lietuvos valstybę, mūsų matematikai apsisprendė nukreipti matematinį ugdymą į visuotinį matematinį raštingumą ir į taikomosios matematikos stiprinimą, atsisakant grynosios matematikos. Suprantami šie norai, bet jų siekiant slypi dideli pavojai. Realizuojant švietimo politiką "matematika visiems" gresia pavojus nuleisti bendrą matematinio ugdymo kokybės lygį. Realizuojant antrąją kryptį - "pažinti pasaulį naudojant matematiką" - gresia pavojus nusileisti iki primityviosios matematikos. Atrodo, kad abiejų šių pavojų neišvengėme.

Kaip paruošti tokį mokytoją, kuris motyvuotų vaiką ne tik "dažyti tvoras", bet ir tapyti matematinius "paveikslus"?

Tam reikia milžiniškų pokyčių mūsų švietimo ir mokslo sistemoje.

Kokių konkrečiai?

Pirmiausia - pakeisti pačią matematinio mokymo kryptį. Dabartinį matematikos mokymo tikslą "pažinti pasaulį" reikia pakeisti nauju tikslu - "pažinti matematiką realaus pasaulio kontekste", didaktinius mokymo metodus derinant su esminiais moderniosios elementariosios matematikos bruožais. Tai gali būti pasiekta tik remiantis matematikų bendruomene, kuri šiuo metu užimta "mokslinės produkcijos" kūrimu. Mūsų mokslo sistema visiškai nevertina mokslininkų darbo švietime ir mokslo žinių perdavimo visuomenei. Mokslas dabar turi vienintelę funkciją - tarnauti verslui. Pavyzdžiui, matematikams niekaip nesiseka mokslo sričių, krypčių ir šakų klasifikacijoje tarp fizinių mokslų srities, matematikos krypties įterpti šaką "modernioji elementarioji matematika ir matematikos didaktika". Nors Latvijos mokslo klasifikatoriuje ši šaka yra nuo 1995 m. Be šito matematikų darbas tobulinant elementariosios matematikos turinį yra neįmanomas.

Laike įstrigęs pasaulis

Ar galima teigti, kad matematikos pamokose vaikams perteikiami tik techninių veiksmų ypatumai, bet ne matematikos esmė?

Manau, kad daugumoje klasių būtent taip ir yra. Lengviau tuo patikėti, kai mokyklinę matematiką vertina matematikos specialybės studentai, turintys galimybę palyginti matematikos mokymą mokykloje ir šios srities studijas universitete. Cituoju 2 kurso studentę: "Iš tikrųjų labai smagu, kai paaiškėja, kas, kaip ir kodėl. Pasirodo, kad yra tiek gražių dalykų ir jie visi susiję, yra sistema (mokykloje taip neatrodė) ir viskas turi priežastis. Kai teko išblusinėti kiekvieną teoremą, galutinai sugriuvo mokyklinis matematikos suvokimas ir ėmė ryškėti visai naujas pasaulis."

Visi vidurinio ugdymo bendrojoje programoje formuluojami ir vadovėliuose dėstomi matematikos faktai buvo žinomi dar 18 a. Toks matematinio mąstymo ugdymas vadintinas 17 a. gamtamoksliniu mąstymu. Tai dar kartą rodo, kad pagal vidurinio ugdymo bendrąją programą mūsų mokyklinė matematika yra laike įstrigęs pasaulis.

Mokykloje geriausiu atveju ugdomi mechaniniai įgūdžiai atlikti tam tikrus veiksmus su matematiniais reiškiniais, paaiškinant juos realaus pasaulio pavyzdžiais.

Bet ar mokykla tikrai turėtų būti ta vieta, kur kalbama apie šiuolaikinį mokslą?

Pagal vidurinio ugdymo bendrąją programą, fizikos mokymo tikslas - "nuodugniau nagrinėti klasikinės ir moderniosios fizikos sritis". Pastarąją sritį sudaro šviesos kvantinės savybės, atomo sandara ir branduolinė reakcija - svarbiausi 20-ojo amžiaus fizikos atradimai. Tarp mokinių pasiekimų fizikos srityje yra reikalavimas "nusakyti Lietuvos mokslininkų vaidmenį fizikos raidoje", "nusakyti fizikos ateities perspektyvas".

Matematikai gali tik svajoti apie analogišką matematikos programą mokykloje.

Grįžkime prie "gero matematikos mokytojo". Kaip jį išvilioti iš "laike įstrigusio pasaulio"?

Mokytojams turėtų būti sukurtos mokymosi visą gyvenimą programos, kad jie galėtų lankytis seminaruose, paskaitose po darbo ir pan. Tiesa, manau, seminarų mokytojai ir dabar turi, bet aš kalbu apie tuos, kuriuose svarstomi elementariosios matematikos prasmės klausimai ar netgi matematikos filosofijos klausimai.

Manote, mokytojai norėtų aukoti savo laisvalaikį?

Jeigu būtų skatinami materialiai, naudojant atlyginimo koeficientus, pareigybes ir kita, manau, norėtų. Dalyvaujantiesiems tokiose programose galima įsteigti įvairių laipsnių diplomus.

Kas tuos seminarus vestų?

Į jų rengimą turėtų būti įtraukta akademinė matematikų bendruomenė. Priemonės, skatinančios tai daryti, turėtų būti numatytos mokslininkų atestacijos nuostatuose bei naudojant mokslo institucijų finansavimo svertus.

Kaip vertinate dabartinius matematikos vadovėlius?

Vadovėlius, taip pat užduočių komplektus reikia atnaujinti, kaip ir jų vertinimo (recenzavimo) tvarką, kad atititiktų samprotavimų loginio tikslumo reikalavimus. Turėtų būti parengta ir išleista šiuolaikinė matematikos mokymo metodika. Taip pat būtina modernizuoti pačią mokymo aplinką, sukurti konsultavimo tinklą gabiems moksleiviams.

Viename iš Lietuvos universitetų reikėtų sukurti matematikos didaktikos tyrimų centrą.

Kaip turėtų keistis mokymo programos?

Pradinio, pagrindinio ir vidurinio matematikos ugdymo programe turėtų atsispindėti esminiai moderniosios elementariosios matematikos ir matematikos didaktikos bruožai, iliustruoti realaus pasaulio pavyzdžiais.

1-8 klasių programa turi būti skirta kiekvieniems metams atskirai (vietoje dabar turimų dvejų metų koncentrų). Programą 9-10 klasėms turi sudaryti branduolys ir papildomi moduliai (gabiesiems), 11-12 klasėms - pagrindinis ir sustiprintas kursai (vietoje dabar turimų bendrojo ir išplėstinio kursų).

Spragos virsta nelaime

Kodėl matematika tapo tokia nepopuliari visuomenėje?

Vokiečių poetas, eseistas ir intelektualas Hansas Magnusas Enzensbergeris (Hans Magnus Enzensberger) dar 1998 m. Tarptautiniame matematikos kongrese nurodė daug priežasčių, kodėl matematika tapo izoliuota sritimi visuomenėje - ne tik Lietuvoje ir ne tik dabar.

Svarbiausia jų - matematikos mokymo problemos visais lygiais, o ypač - pradiniu. Jo žodžiais tariant, išmokyti aritmetikos mechaniškai įsimenant yra viskas, ko tikimasi mokant moksleivius, užuot skatinus abstraktųjį mąstymą tuo žmogaus amžiaus laikotarpiu, kai tai daryti lengviausia.

Kaip būtų galima sustiprinti pradinio matematikos ugdymo mokytojų rengimą?

Tam skirtas studijų programas pirmiausiai reikėtų suderinti su matematikos krypties aprašu, jas papildyti mokyklinės matematikos turinio, šiuolaikinės matematikos didaktikos, istorijos ir filosofijos studijomis. Būsimi matematikos mokytojai turėtų suprasti šiuolaikinio matematinio ugdymo filosofiją ir išmanyti matematikos teorijos pagrindus.

Realybė tokia, kad pamokose nespėjama išdėstyti suplanuoto mokymo turinio, dar blogiau - kai dalis vaikų nespėja suprasti to, kas išdėstyta, o jau programa veja į priekį.

Manau, kad matematikos mokymas turėtų būti grindžiamas principu "nepalikti nesuprastos temos". Ši disciplina turi dar vieną išskirtinį bruožą. Matematikos žinios yra labai susijusi hierarchinė sistema. Mažiausia spraga netrukus atsigręžia didžiule nelaime. Vaikas pradeda nieko nesuprasti, kai imasi naujos temos.

Sakote, jog negalima ignoruoti nesupratusiųjų temos. Turite galvoje visus moksleivius?

Visus. Reikia sukurti sistemą, suteikiančią greitą pagalbą sunkumų turintiems moksleiviams.

Kaip reikėtų kelti vaikų motyvaciją mokytis matematikos?

Matematikos turinį aiškinant paprastai ir suprantamai. Matematinio mąstymo galios turi būti ugdomos siekiant loginio samprotavimo tikslumo ir remiantis realaus pasaulio kontekstu.

Šiai minčiai iliustruoti tiktų dar vienas vaizdingas palyginimas iš mano minėtos E. Frenkelio knygos "Meilė ir matematika". Autorius cituoja savo mokytoją matematiką Izraelį Gelfandą (Israel Gelfand), kuris taip sakė: "Žmonės mano, kad jie nesupranta matematikos. Bet supratimas priklauso nuo to, kaip matematika aiškinama. Jei girtuoklį paklausi, kuris iš skaičių 2/3 ar 3/5 yra didesnis, jis vargu ar atsakys. Bet, tarkime, jūs performuluosite šį klausimą taip: kas yra geriau - du degtinės buteliai trims žmonėms ar trys degtinės buteliai penkiems žmonėms? Tada jis iš karto atsakys: žinoma, du buteliai trims."

Matematinė intuicija

Ką reikėtų padaryti, kad jaunimas norėtų tapti matematikos mokytojais?

Ką tik dalyvavau Lietuvos matematikos mokytojų konferencijoje. Ją pradėjęs Lietuvos edukologijos universiteto (LEU) naujojo Gamtos, matematikos ir technologijų fakulteto dekanas Virginijus Sruoga priminė apie LEU Matematikos ir informatikos fakulteto mirtį bei apie mūsų moksleivių nenorą siekti matematikos mokytojo profesijos. Profesorius mokytojams palinkėjo siekti ne pasaulį pažinti naudojant matematiką, bet pažinti matematiką naudojant realaus pasaulio kontekstą.

Tuo tarpu Lietuvos banko priežiūros tarnybos Finansinių paslaugų ir rinkų priežiūros departamento direktorius Vilius Šapoka savo pranešimą pradėjo svarstymu apie ryšį tarp pinigų ir laimės pasitelkdamas gyventojų apklausas. Jo teigimu, kuo šalis neturtingesnė, tuo lengviau šalies gyventojus padaryti laimingus.

Kuo čia dėta matematika?

Pranešėjas sugebėjo nuolat įterpti pastabas apie tai, kokia svarbi matematinė intuicija apie finansinius rodiklius ir instrumentus vertinant savo asmeninius finansus ir darant finansinius sprendimus.

Negi jis neteisus?

Teisus, bet nemanau, kad jam pavyko atskleisti finansinio pasaulio mechanizmo elementus ir matematikos vaidmenį finansų pasaulyje. Eksponentinio augimo ir tolydžiųjų palūkanų kitimo pavyzdžiai yra svarbūs, bet tai yra viskas, ką galima išspausti remiantis moksleiviams prieinama elementariąja matematika.

Didesnė dalis pranešėjo aptariamų pavyzdžių vertinant atsitiktinių įvykių tikimybes atrodė daugiau susijusi su psichologija negu su matematika. Jei klausytojai būtų supažindinami su kombinatorikos elementais, naudojamais skaičiuoti atsitiktinių įvykių tikimybes, tai motyvacija mokytis matematikos galėtų būti gerokai didesnė.

O kaip parodyti, kaip skaičiuojamos tikimybės?

Tam reikalingas nuoseklus abstraktaus mąstymo ugdymas. Matematinė intuicija ugdoma sprendžiant daug abstrakčių uždavinių. Paprastas teigimas, kad matematika yra reikalinga sprendžiant sudėtingus uždavinius, yra nepakankamas ir dažniausiai neišgirstamas.

Įtariu, kad tarp šios paskaitos klausytojų atsirado nemažai tokių, kurie pasinaudos banko paslaugomis tvarkydami savo asmeninius finansus ir patars vaikams rinktis finansininko profesiją. Matyt, toks ir buvo pranešimo tikslas.

Apie tyrimų naudą ir žalą

PISA rezultatai parodė, kad esame žemiau vidurio tarp kitų šalių, bet rezultatą pagerinome, palyginti su 2009 m. Kaip tai vertinate?

Pirma, nemanau, kad šio tyrimo rezultatai atsako į pagrindinį tyrimų klausimą: ką piliečiams svarbu žinoti ir gebėti atlikti? Antra - nemanau, kad PISA tyrimai įvardija charakteristikas, apibūdinančias šalių, kurių mokiniai pasiekė aukštus rezultatus, švietimo sistemas.

Kodėl?

Tokie tyrimai gali būti naudingi, kai atsižvelgiama į jų ribotumą. Problema tokie tyrimai tampa tada, kai jais pradedama naudotis švietimo politikoje. ES rekomenduoja iki 2020 m. pasiekti tam tikrą matematinio raštingumo lygį, apskaičiuojamą pagal PISA tyrimo rezultatus. Būtent nepasiekusiųjų antrojo lygmens turėtų būti ne daugiau kaip 15 proc. apklausiamųjų (pirmasis lygmuo čia yra žemiausias, o šeštasis lygmuo yra aukščiausias). Teigiama, kad matematinį raštingumą pasiekia tie, kurie įveikia antrąjį lygmenį. Šiuo metu antrojo lygmens nepasiekia maždaug 26 proc. lietuvių.

Kai švietimo sistemos kokybės rodikliu tampa konkretus skaičius, tai daroma viskas, kad būtų pasiektas nustatytas rodiklis. Tokiam tikslui pasiekti visai nebūtina siekti ugdyti loginio samprotavimo tikslumo matematikos pamokose. Pakanka treniruoti moksleivius sprendžiant "realius uždavinius". Taip pat atsirado motyvas švietimo politikų ir mokytojų kvalifikaciją kelti keliaujant į tas šalis, kurios PISA tyrime pasirodė sėkmingai. Šiuo atveju tokia šalimi tapo Estija. Konferencijos metu buvo reklamuojama viena tokia kelionė. Man yra keista, o kodėl nekeliaujama į Lenkiją, kurios rezultatai dar geresni?

Kalbėdamas apie numatomą 2015 m. PISA tyrimą, Nacionalinio egzaminų centro Mokinių pasiekimų tyrimų ir analizės skyriaus vedėjas Mindaugas Stundža pasakė, kad Lietuva dalyvaus vertinant savo penkiolikmečių finansinį raštingumą kartu su iki šiol vykdomu skaitymo, gamtamokslinio ir matematinio raštingumo tyrimu. Tai susiję su papildomomis finansinėmis išlaidomis. Jis prasitarė, kad šias išlaidas imasi finansuoti Lietuvos bankas. Pagalvojau, kad tai paaiškina šios konferencijos pirmojo pranešėjo pasirinkimo motyvą. Sunku būtų patikėti, kad finansininkai tai daro iš patriotizmo, norėdami ugdyti mūsų moksleivių motyvaciją mokytis matematikos. Tokiam tikslui greičiau pasiekti galima būtų materialiai skatinti matematikos mokytojus ir jų kvalifikacijos kėlimą.

Privalomas egzaminas: virvių tampymas

2016 metais numatomas naujos formos matematikos brandos egzaminas. Kokia bus toji forma?

Minėtoje konferencijoje buvo pristatytas projektas, kuriuo numatoma, kad egzaminas vyks dviem etapais. Tie, kurie nori brandos atestato, turės laikyti pirmojo etapo egzaminą pagal bendrojo kurso programą. Tie, kurie norės pretenduoti į valstybės apmokamas vietas universitete, turės sėkmingai įveikti pirmąjį etapą ir laikyti antrojo etapo egzaminą pagal išplėstinio kurso reikalavimus. Pirmąjį etapą planuojama vykdyti pasitelkiant informacines technologijas. Tuo neišvengiamai ribojamas užduočių pobūdis.

Antrajame etape numatoma didesnę reikšmę suteikti vertinant aukštesniuosius mąstymo gebėjimus.

VU Matematikos ir informatikos metodikos katedros profesorius ir vedėjas Eugenijus Stankus, pristatęs projektą, pripažino, kad brandos egzaminas žlugdo matematikos mokymą, tačiau jis įpareigotas švietimo ministro vadovauti grupei, ruošiančiai šį projektą.

Jis taip pat pripažino, kad švietimo politikoje vyksta "virvės tampymas" tarp dviejų pakraipų: taikomosios matematikos ir grynosios matematikos. Jo manymu, šiuo atveju reikalingas balansas.

Ar bus privalomas brandos egzamino antrasis etapas?

Dėl to diskutuojama nebuvo, tai Švietimo ir mokslo ministerijos politikų ateities sprendimo reikalas. Jie, žinia, viešai tokių sprendimų neaptaria.

Politinė persvara

Kodėl manote, kad šiandien aiškią politinę persvarą turi primityviosios matematikos šalininkai?

Tą rodo ir Lietuvos matematikos mokytojų konferencijos paskutinio pranešimo tema. LEU profesorė Nijolė Cibulskaitė ir jos magistrantė B. Ščerbo pristatė pranešimą "Tyrinėjimu paremtas matematikos mokymas(is)". Reikėtų priminti, kad tokiu pavadinimu žinomas studijų metodas atsirado tarp matematikų dar 20 amžiaus pradžioje. "Inquiry-Based Learning" studijų idėjos autoriumi laikomas amerikiečių matematikas R. L. Mūras (R. L. Moore). Įtariu, kad įvairių šalių edukologai šią idėją pasiskolino ir gerokai išplėtojo paversdami ją primityviosios matematikos ugdymu. To pavyzdys yra ES finansuojamas 7-osios bendrosios programos projektas "Mascil". Prie šios programos vykdymo ir lėšų įsisavinimo prisijungė ir Lietuva.

Ko konkrečiai siekiama šia programa?

Siekiama matematikos mokymą sieti su tyrimų vykdymu gamtos mokslų kontekste. Pasirodo, Lietuvoje taip pat turime edukologų, kurie yra šios idėjos propaguotojai. Nebesinori toliau plėtoti šios temos.

Ar matematikos mokytojų konferencijoje apčiuopėte viltingų gaidelių?

Nuotaiką pakėlė Romo Kašubos pasisakymas, kuriuo jis pristatė savo naująją knygą pavadinimu "Ne(t)rimta knyga". To negaliu atpasakoti, reikėjo pamatyti ir išgirsti...

Įdomūs buvo kiti trys pranešimai apie vizualizavimą matematikoje ir IT naudojimą. Be abejonės, visi šie dalykai gali padėti matematiką padaryti patrauklesnę. Bijau tik vieno: kad nebūtų persistengta siekiant vien patrauklumo.

Mokiniai apie matematikos mokymą

"Labai norėtųsi, kad ugdymo politiką formuojanti Švietimo ir mokslo ministerija išklausytų pačius mokinius, - "Vakarų ekspresui" sakė Klaipėdos "Ąžuolyno" gimnazijos matematikos mokytoja ekspertė Vilija Šileikienė, sausio 3 d. Lietuvos edukologijos universitete vykusioje Lietuvos matematikos mokytojų konferencijoje "Novatoriškų iniciatyvų matematiniame ugdyme sklaida" pristačiusi pranešimą "Mokiniai apie matematiką". - Prieš darant mokinius liečiančius sprendimus, būtų pravartu atlikti jų apklausas daugumoje Lietuvos mokyklų ir padaryti reikalingas išvadas."Mokytoja apklausė 115 "Ąžuolyno" gimnazijos mokinių. 30 iš jų - 15-16 metų, o 85 - 17-18 metų jaunuoliai. 88 proc. apklaustųjų teigė, jog domisi matematika.

89 proc. apklaustų mokinių atsakė, kad sėkmingą matematikos mokymąsi lemia aiškus informacijos pateikimas pamokoje, 85 proc. - noras mokytis, 72 proc. - nuoseklus mokymasis, 66 - gebėjimai, 58 - mokytojo asmenybė, 8 - korepetitorių pagalba.

Didžioji dauguma moksleivių įsitikinę, kad gera šiuolaikinė matematikos pamoka yra ta, kurioje aktyviai dalyvaujant mokytojui naudojamos vaizdinės priemonės. Savarankiškai mokiniai turintys dirbti namie.

Daugelis moksleivių pasisakė prieš IT naudojimą matematikos pamokose ir teigė, jog geriausios priemonės yra kreida ir lenta.

Į klausimą, kodėl nenori rinktis mokytojo profesijos, 61 proc. atsakė, kad šis darbas per menkai vertinamas, 48 proc. - kad nenori dirbti su paaugliais.

61 proc. moksleivių pasisakė už privalomą matematikos brandos egzaminą. Jam prieštaravo 25 proc., 19 proc. atsakė, jog tai nėra būtina.

Paklausta, kas jai pačiai buvo netikėta skaitant mokinių mintis, V. Šileikienė sakė: "Iš esmės niekas labai nenustebino, panašių atsakymų ir tikėjausi. Gerai žinojau ir tai, kad mokiniai daug reikšmės teikia geriems santykiams su mokytoju. Gal kiek nustebau, kad labai mažai mokinių korepetitoriaus pagalbą priskyrė prie sėkmingo mokymosi faktorių."

DOSJĖ

1980 m. Rimas Norvaiša baigė Vilniaus universitetą ir įgijo matematiko specialybę.

1985 m. apgynė fizikos-matematikos mokslų kandidato disertaciją.

Nuo 1991 metų dirba Matematikos ir informatikos institute. Šiuo metu yra šio instituto vyriausiasis mokslo darbuotojas.

2001 m. apgynė habilituoto daktaro disertaciją. Maždaug tuo pačiu metu pradėjo dirbti ir Vilniaus universiteto Ekonometrijos katedroje; šiuo metu užima profesoriaus pareigas. Šios katedros studentams dėsto matematinės analizės ir matematinės ekonomikos kursus.

2010-2012 m. buvo Lietuvos mokslininkų sąjungos pirmininkas; dabar yra šios sąjungos vicepirmininkas.

1994 m. apdovanotas Fulbrighto stipendija Masačiusetso technologijų institute (Massachusetts Institute of Technology) Kembridže (Cambridge, JAV), ten dirbo beveik kasmet lankydamasis iki 2006 metų.

Taip pat keletą kartų stažavosi Kornelio universitete (Cornell university, JAV); Boelefeldo universitete (Bielefeld university) Vokietijoje; Groningeno universitete (Groningen university) Olandijoje; Fildso matematikos institute (Fields Institute of Mathematics) Toronte (Kanada); Paryžiaus universitete 13 (Universite Paris 13) Prancūzijoje.

R. Norvaiša yra parašęs apie 50 mokslinių straipsnių ir yra dviejų knygų bendraautoris:
R. M. Dudley, R. Norvaiša. Differentiability of Six Operators on Nonsmooths Functions and p-variation. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1703, Springer, 1999, 277 pp.
R. M. Dudley, R. Norvaiša. Concrete Functional Calculus. Springer Monographs in Mathematics. Springer, 2010, 671 pp.